基本不等式的一个变式及应用
田发胜
设a,b∈R,则a2+b2≥2ab(当且仅当a=b时等号成立)。在这个基本不等式两边同加上a2+b2,可得2(a2+b2)≥a2+b2+2ab,也即2(a2+b2)≥(a+b)2,再在两边同除以4,得到不等式:a2+b2/2≥(a+b/2)2(当且仅当a=b时等号成立)。这个不等式实现了两个数的平方和与两个数的和之间的相互转化,它在求解最值问题中有着广泛的应用。进一步观察这个不等式的结构特征,可以发现不等式的两边是对称的,所以这个不等式只能适用于解决具有对称结构的有关问题。如果要解决的问题是不对称的,有没有简捷的解决途径呢?下面给出一个结论,供同学们在学习中参考。